Border bases for lattice ideals

The main ingredient to construct an O-border basis of an ideal I $\subseteq$ K[x1,. .., xn] is the order ideal O, which is a basis of the K-vector space K[x1,. .., xn]/I. In this paper we give a procedure to find all the possible order ideals associated with a lattice ideal IM (where M is a lattice of Z n). The construction can be applied to ideals of any dimension (not only zero-dimensional) and shows that the possible order ideals are always in a finite number. For lattice ideals of positive dimension we also show that, although a border basis is infinite, it can be defined in finite terms. Furthermore we give an example which proves that not all border bases of a lattice ideal come from Gr\"obner bases. Finally, we give a complete and explicit description of all the border bases for ideals IM in case M is a 2-dimensional lattice contained in Z 2 .Comment: 25 pages, 3 figures. Comments welcome!, MEGA'2015 (Special Issue), Jun 2015, Trento, Ital

Sophie Germain and Fermat’s Last Theorem

The purpose of this paper is to present the figure of Sophie Germain, setting her in the historical period in which she lived, and to try to explain some of the mathematical tools she used in her attempt to solve one of the most famous theorems in the history of mathematics: Fermat’s Last Theorem. Though the French mathematician gave some important results concerning Fermat’s problem, historically she has not been given credit for what she proved, until recent studies have re-evaluated her works. In the first and second section we present Sophie Germain’s biography and introduce Fermat’s Last Theorem from the algebraic point of view. The following sections are dedicated to the presentation of the most important results by Sophie Germain and the techniques she uses to prove them. Finally, we briefly discuss the failure of her plan, the so called “Grand Plan”, to prove Fermat’s conjecture.Lo scopo di questo articolo è presentare la figura di Sophie Germain, ambientandola nel periodo storico in cui visse, e provare a spiegare alcuni degli strumenti matematici da lei utilizzati nel tentativo di risolvere uno dei teoremi più famosi della storia della matematica: l'Ultimo Teorema di Fermat. Sebbene la matematica francese abbia fornito alcuni risultati importanti riguardo al problema di Fermat, storicamente non le è stato riconosciuto il merito di ciò che ha dimostrato, finché studi recenti non hanno rivalutato i suoi lavori. Nella prima e nella seconda sezione viene presentata la biografia di Sophie Germain e introdotto l’Ultimo Teorema di Fermat dal punto di vista algebrico. Le sezioni seguenti sono dedicate alla presentazione dei risultati più importanti di Sophie Germain e alle tecniche che utilizzò per dimostrarli. Infine, viene brevemente discusso il fallimento del suo piano, il cosiddetto “Grand Plan”, per dimostrare la congettura di Fermat

On the configurations of nine pointson a cubic curve

We study the reciprocal position of nine points in the plane, accordingto their collinearities. In particular, we consider the case in which thenine points are contained in an irreducible cubic curve and we give theirclassification. If we call two configurations different when the associatedincidence structures are not isomorphic, we see that there are 131 config-urations that can be realized inP2Q, and there are two more inP2K, whereK=Q[ 1a 123] (one of the two is the Hesse configuration given by thenine inflection points of a cubic curve). Finally, we compute the possibleHilbert functions of the ideals of the nine points

Constructions over localizations of rings

In this paper we construct a category of effective noetherian rings in which linear equations can be “solved”. This category is closed with respect to some important constructions like trascendental extensions, quotientations, finite products and localizations with respect to a large class of multiplicatively closed systems. Hence it gives a definition of “constructive” rings

Sappiamo davvero cosa significa “crescita esponenziale”?

Video della lezione universitaria nel roseto del Parco di san GiovanniUsando alcune simulazioni interattive con il pubblico, Alessandro Logar mostra come la matematica si nasconda dietro a molti fatti e permetta di accomunare fenomeni all'apparenza del tutto distinti

software per Margherite e spirali, cavolfiori e frattali

Il software si compone di due programmi Java. Il primo programma permette di visualizzare il modello matematico presentato nell'articolo H. Vogel, "A better way to construc the sunflower head", Mathematical Biosciences, Vol. 44, 179\u2013189 (1979). Per mezzo del programma si puo' capire perche' i fiori tubulosi di un'asteracea (l'esempio tipico sono i girasoli e le margherite) si dispongono lungo due spirali (una oraria e una antioraria) i cui numeri sono solitamente due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Un secondo utilizzo del software e' quello di permettere di ricostruire, con il modello matematico, la precisa disposizione dei fiori tubulosi di un'asteracea (o le squame di una pigna) a partire da un modello concreto. Il secondo programma permette di costruire frattali in modo molto semplice e intuitivo. Lo scopo principale e' di mostrare come sia possibile simulare alcune piante (una fronda di felce, una foglia di un'ombrellifera, la foglia di un platano...) per mezzo di un frattale. L'utilizzo di entrambi i progammi e' dettagliatamente spiegato nel libretto: C. Genzo, A. Logar "Margherite e Spirali, Cavolfiori e Frattali", Comune di Trieste, Civico Orto Botanico, del quale fanno parte integrante

Quartic monoid surfaces with maximum number of lines

We study into details the quartic monoid surfaces of P^3 with maximum number of lines (31)